Question

已知函数f（x）=[1/3]x3-[m+1/2]x2，g（x）=[1/3]-mx，m是实数．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）先求出函数的导数，由f′（1）=0，解出即可；

（Ⅱ）由f′（x）=x²-（m+1）x，得f′（x）=x（x-m-1）≥0在区间（2，+∞）恒成立，即m≤x-1恒成立，由x＞2，得m≤1，

（Ⅲ）先求出h′（x）=（x-1）（x-m）=0，分别得m=1时，m＜1时的情况，进而求出m的范围．

（Ⅰ）f′（x）=x²-（m+1）x，

由f（x）在x=1处取到极大值，得f′（1）=1-（m+1）=0，

∴m=0，（符合题意）；

（Ⅱ）f′（x）=x²-（m+1）x，

∵f（x）在区间（2，+∞）为增函数，

∴f′x）=x（x-m-1）≥0在区间（2，+∞）恒成立，

∴x-m-1≥0恒成立，即m≤x-1恒成立，

由x＞2，得m≤1，

∴m的范围是（-∞，1]．

（Ⅲ）h（x）=f（x）-g（x）=[1/3]x³-[m+1/2]x²+mx-[1/3]，

∴h′（x）=（x-1）（x-m）=0，解得：x=m，x=1，

m=1时，h′（x）=（x-1）²≥0，h（x）在R上是增函数，不合题意，

m＜1时，令h′x）＞0，解得：x＜m，x＞1，令h′（x）＜0，解得：m＜x＜1，

∴h（x）在（-∞，m），（1，+∞）递增，在（m，1）递减，

∴h（x）_极大值=h（m）=-[1/6]m³+[1/2]m²-[1/3]，h（x）_极小值=h（1）=[m−1/2]，

要使f（x）-g（x）有3个零点，

需

−

1

6m3+

1

2m2−

1

3＞0

m−1

2＜0，解得：m＜1-

3，

∴m的范围是（-∞，1-

3）．

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，参数的范围，是一道综合题．