Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,BC=2√2,EF分别是

Answer 1

解法一 （Ⅰ）如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP算在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

∵AP=AB=2,BC=AD=2√ 2,四边形ABCD是矩形.

∴A,B,C,D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2 √ 2,0),D(0,2 √ 2,0),P(0,0,2)

又E,F分别是AD,PC的中点,

∴E(0,√ 2,0),F(1,√ 2,1).

∴ =（2,2 √ 2,-2） =（-1,√ 2,1） =（1,0,1）,

∴ • =-2+4-2=0,• =2+0-2=0,

∴ ⊥ ,⊥ ,

∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩ EF=F,

∴PC⊥平面BEF

（II）由（I）知平面BEF的法向量

平面BAP 的法向量

设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ,

则

∴ θ=45℃,∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45

解法二 （I）连接PE,EC在

PA=AB=CD,AE=DE,

∴ PE= CE,即 △PEC 是等腰三角形,

又F是PC 的中点,∴EF⊥PC,

又 ,F是PC 的中点,

∴BF⊥PC.

又