Question

椭圆x^2/4+y^2/b^2=1（>0）的焦点在x轴上,右顶点关于x-y+4=0的对称点在椭圆的左准线上,求椭圆方程

Answer 1

椭圆右顶点为A(2,0),左准线为x=-a^2/c=-4/c

设左准线上的点为B(-4/c,t),

设AB中点为C,则C=C((2-4/c)/2,t/2)

A,B关于直线x-y+4=0对称,则点C必然在直线上

∴有 (2-4/c)/2-t/2+4=0,解得t=10-4/c,

又AB⊥直线x-y+4=0,∴k(AB)=-1

即(0-t)/(2+4/c)=-1 => t=10-4/c=2+4/c => c=1

∴b^2=a^2-c^2=4-1=3

∴椭圆方程为 x^2/4+y^2/3=1