Question

已知函数f(x)＝loga1−mxx−1（a>0，a≠1）是奇函数．

Answer 1

解题思路：（1）根据奇函数的定义可知f（-x）+f（x）=0，建立关于m的等式关系，解之即可；

（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；

（3）先求函数的定义域，讨论（n，a-2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n和a的值．

（1）∵函数f(x)=loga

1-mx

x-1（a>0，a≠1）是奇函数．

∴f（-x）+f（x）=0解得m=-1．

（2）由（1）及题设知：f(x)=loga

x+1

x-1，

设t=

x+1

x-1=

x-1+2

x-1=1+

2

x-1，

∴当x₁>x₂>1时，t1-t2=

2

x1-1-

2

x2-1=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∴t₁2．
当a>1时，log_at₁at₂，即f（x₁）2）．
∴当a>1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．
同理当0（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（-∞，-1），
∴①当n
loga
1+n
n-1=1
a-2=-1（无解）；
②当1≤n3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a-2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知

n=1
loga
a-1
a-3=1
得a=2+
3，n=1．

点评：

本题考点： 对数函数的值域与最值；对数函数的单调性与特殊点．

考点点评： 本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数的单调性和值域问题，属于基础题．