Question

在数列{an}中，已知a1=1，an+1-an=sin(n+1)π2，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2014=（

Answer 1

解题思路：由递推公式分别求出数列的前5项，推导出数列{a_n}是一个以4为周期的周期数列，由此能求出S₂₀₁₄．

∵a_n+1-a_n=sin

(n+1)π

2，

∴a_n+1=a_n+sin

(n+1)π

2，

∴a₂=a₁+sinπ=1+0=1，

a3＝a2+sin

3

2π=1+（-1）=0，

a₄=a₃+sin2π=0+0=0，

a5＝a4+sin

5π

2=0+1=1，

∴a₅=a₁，

如此继续可得a_n+4=a_n，（n∈N^*），

数列{a_n}是一个以4为周期的周期数列，

∴S₂₀₁₄=503×（a₁+a₂+a₃+a₄）+a₁+a₂

=503×（1+1+0+0）+1+1=1008．

故选：C．

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的前2014项和的求法，解题时要认真审题，注意数列的周期性的合理运用．