(2001•江西)如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1

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  • 解题思路:(Ⅰ)先求底面ABCD的面积,利用高是SA,可求四棱锥S-ABCD的体积;

    (Ⅱ)延长BA、CD相交于点E,连接SE,SE是所求二面角的棱,说明∠BSC是所求二面角的平面角,解三角形BSC,可求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.

    (Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是M底面=[1/2(BC+AD)•AB=

    1+0.5

    2×1=

    3

    4](2分)

    ∴四棱锥S-ABCD的体积是V=

    1

    3×SA×M底面=

    1

    3×1×

    3

    4=

    1

    4;(4分)

    (Ⅱ)延长BA、CD相交于点E,连接SE,

    则SE是所求二面角的棱(6分)

    ∵AD∥BC,BC=2AD

    ∴EA=AB=SA,

    ∴SE⊥SB

    ∵SA⊥面ABCD,得面SEB⊥面EBC,

    EB是交线.又BC⊥EB,

    ∴BC⊥面SEB,

    故SB是SC在面SEB上的射影,

    ∴CS⊥SE,

    所以∠BSC是所求二面角的平面角(10分)

    ∵SB=

    SA2+AB2=

    2,BC=1,BC⊥SB

    ∴tan∠BSC=

    BC

    SB=

    2

    2

    即所求二面角的正切值为

    2

    2.(12分)

    点评:

    本题考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;与二面角有关的立体几何综合题.

    考点点评: 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积,二面角及其度量,考查空间想象能力,理解失误能力,是中档题.