解题思路:(Ⅰ)先求底面ABCD的面积,利用高是SA,可求四棱锥S-ABCD的体积;
(Ⅱ)延长BA、CD相交于点E,连接SE,SE是所求二面角的棱,说明∠BSC是所求二面角的平面角,解三角形BSC,可求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
(Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是M底面=[1/2(BC+AD)•AB=
1+0.5
2×1=
3
4](2分)
∴四棱锥S-ABCD的体积是V=
1
3×SA×M底面=
1
3×1×
3
4=
1
4;(4分)
(Ⅱ)延长BA、CD相交于点E,连接SE,
则SE是所求二面角的棱(6分)
∵AD∥BC,BC=2AD
∴EA=AB=SA,
∴SE⊥SB
∵SA⊥面ABCD,得面SEB⊥面EBC,
EB是交线.又BC⊥EB,
∴BC⊥面SEB,
故SB是SC在面SEB上的射影,
∴CS⊥SE,
所以∠BSC是所求二面角的平面角(10分)
∵SB=
SA2+AB2=
2,BC=1,BC⊥SB
∴tan∠BSC=
BC
SB=
2
2
即所求二面角的正切值为
2
2.(12分)
点评:
本题考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;与二面角有关的立体几何综合题.
考点点评: 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积,二面角及其度量,考查空间想象能力,理解失误能力,是中档题.