Question

角平分线长的证明谁能帮我证明一下:三角形内角平分线的平方,等于两条邻边的乘积,减去对边被角平分线分成的两条线段的积.好像

Answer 1

三角形ABC,AP为∠A平分线

AP=t,AB=c,AC=b,BC=a,PC=X,BP=A-X=y

b/c=x/y=x/(a-x)

x=ab(b+c),y=ac/(b+c)

cos∠APB=-cos∠APC

余弦定理：

(x^2+t^2-b^2)/(2tx)=-(y^2+t^2-c^2)/(2ty)

整理：

(x+y)t^2=(xc^2+yb^2)-xy(x+y),x+y=a

t^2

=(xc^2+yb^2)/a-xy

=bc(b+c)/(b+c)-xy

=bc-xy

即：

AP^2=AB*AC-BP*PC

所以：

三角形内角平分线的平方,等于两条邻边的乘积,减去对边被角平分线分成的两条线段的积