Question

数列an的前n项和为sn 且 方程X^2-anX-an=0的一个根是 Sn-1 （是前n项合再减去数字1）.求通项公式

Answer 1

Sn-1是方程x^2-anx-an=0的一根,故有：(Sn-1)^2-an(Sn-1)-an=0成立

简化得：Sn^2-(an+2)Sn+1=0…①

当n=1时,S1=A1,求得a1=1/2；

又：an=Sn-S(n-1)代入①得S(n-1)*Sn-2Sn+1=0,Sn=1/（2-S（n-1）)

Sn=1/(2-S(n-1))

两边同减1,取倒数

1/(Sn-1)=1/(1/(2-S(n-1))-1)=(2-S(n-1))/(S(n-1)-1)=1/(S(n-1)-1)-1

所以{1/(Sn-1)}是等差数列

1/(Sn-1)=1/(S1-1)+(n-1)(-1)=-n-1

Sn=n/(n+1)

an=Sn-S(n-1)=n/(n+1)-(n-1)/n=1/n(n+1)