Question

一份高数考卷,1.将长为a的铁丝切成两段,一段围成正方形,另一段围成圆形,问这两段各长多少时,正方形与圆形的面积之和最小

Answer 1

(1):设正方形边长为x,则圆的半径是(a-4x)/(2*pi);其面积和s=x^2+pi*[(a-4x)/(2*pi)]^2=(1+4/pi)x^2-(2a/pi)x+a^2/4pi,根据ax^2+bx+c,在a>0,且x=-b/2a时;取最小值x(min)=(4bc-b^2)/4a,自己代入此公式算一下吧.(2):边长为a的正方形四角各减去边长为x的小正方形;向上折成(a-2x)*(a-2x)*x长方体;其体积s=(a-2x)^2*x=4x^3-4ax^2+a^2x;其导数s'=12x^2-8ax+a,当s'=0时,解得:x1=a/2(此时体积取最小值=0);x2=a/6(此时体积取最大值=2a^3/27)