Question

已知函数f(x)＝(2log4x−2)(log4x−12)．

Answer 1

解题思路：（1）令t=log₄x，则可将函数在x∈[2，4]时的值域问题转化为二次函数在定区间上的值域问题，利用二次函数的图象分析出函数的最值，即可得到函数的值域；

（2）令t=log₄x，则可将已知问题转化为2t²-3t+1≥2mt对t∈[1，2]恒成立，即

m≤t+

1

2t

−

3

2

对t∈[1，2]恒成立，求出不等号右边式子的最小值即可得到答案．

（1）f(x)＝(2log4x−2)(log4x−

1

2)，

令t＝log4x，x∈[2，4]时，t∈[

1

2，1]

此时，y＝(2t−2)(t−

1

2)＝2t2−3t+1，

当t=[3/4]时，y取最小值−

1

8，

当t=[1/2]或1时，y取最大值0，

∴y∈[−

1

8，0]

（2）若f（x）≥mlog₂x对于x∈[4，16]恒成立，

令t=log₄x，

即2t²-3t+1≥2mt对t∈[1，2]恒成立，

∴m≤t+

1

2t−

3

2对t∈[1，2]恒成立

易知g(t)＝t+

1

2t−

3

2在t∈[1，2]上单调递增

∴g（t）_min=g（1）=0，

∴m≤0．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值．

考点点评： 本题考查的知识点是对数函数的性质，二次函数在闭区间上的最值问题，函数恒成立问题，函数的最值，是函数图象和性质的简单综合应用，难度中档