求方程的通解:y=(y'-1)e^y' 跪谢)

1个回答

  • 方程两边同时求导得:y'=y''e^y'+(y'-1)(e^y')y''

    化简得y'=y'(e^y')y''

    (1)当y'=0时,y=C,代入原方程得C=-1,即y=-1

    (2)当y'不=0时,有(e^y')y''=1

    两端同时积分得:积分(e^y')y''dx=x+C'

    积分(e^y')dy'=x+C',积分e^y'=x+C'

    即y'=ln(x+C')

    两端同时积分得:y=积分ln(x+C')dx+C''=xln(x+C')-积分xdln(x+C')+C''=xln(x+C')-积分[x/(x+C')]dx+C''=xln(x+C')-积分{1-[C'/(x+C')]}dx+C''=xln(x+C')-x+ln(x+C')+C''

    即y=xln(x+C')-x+C'ln(x+C')+C''

    y'=ln(x+C')+x/(x+C')-1+C'/(x+C')=ln(x+C')

    将上两式代入原方程得:

    xln(x+C')-x+C'ln(x+C')+C''=[ln(x+C')-1]e^[ln(x+C')]=[ln(x+C')-1](x+C')=xln(x+C')-x+C'ln(x+C')-C'

    故C‘=-C’‘,所以y=xln(x+C')-x+C'ln(x+C')-C'=(x+C')[ln(x+C')-1]

    综上,y=-1或y=(x+C')[ln(x+C')-1] (c,c'c''均为任意常数)