已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

1个回答

  • 解题思路:我们先假设,a+b=1再证明a3+b3+ab-a2-b2=0成立,即命题的必要性,再假设a3+b3+ab-a2-b2=0再证明a+b=1成立,即充分性,如果两者均成立,即可得到a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

    证明:先证必要性:

    ∵a+b=1,∴b=1-a

    ∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2

    =a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2

    =0

    再证充分性:

    ∵a3+b3+ab-a2-b2=0

    ∴(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0

    即:(a2-ab+b2)(a+b-1)=0

    ∵ab≠0,a2-ab+b2=(a-

    1

    2b)2+

    3

    4b2>0,

    ∴a+b-1=0,即a+b=1

    综上所述:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0

    点评:

    本题考点: 充要条件;综合法与分析法(选修).

    考点点评: 本题考查的知识点是充要条件的证明,本类问题的处理一共分为三步:①证明必要性,②证明充分性,③得到结论.