设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,其首项b1和公比q均为整数,若cn=an+bn,c1=2,c2=5,c3=17

2个回答

  • 设{an}的首项为a1,公差为d;由题意,d≠0,q≠0,q≠1,

    c1=a1+b1=2 (1)

    c2=a2+b2=a1+d+b1*q=5 (2)

    c3=a3+b3=a1+2d+b1*q^2=17 (3)

    (2)-(1),得到

    d+b1*q-b1=3 (4)

    (3)-(2),得到

    d+b1*(q^2-q)=12 (5)

    (5)-(4),得到

    b1*(q^2-2q+1)=9

    b1*(q-1)^2=9

    ∵q≠1,∴(q-1)^2>0,b1>0,

    ∵b1,q为整数,∴b1和(q-1)^2中必有一个是3的倍数.

    若b1是3的倍数,b1=3k,k∈N,q=1±√[9/(3k)]仅有k=3,q=2,b1=9,a1=-7,d=-6满足要求.

    若(q-1)^2是3的倍数,q=√(3k)+1,k∈N,无解.

    因此,cn=a1+(n-1)*d+b1*q^(n-1)=-7+(n-1)*(-6)+9*2^(n-1)

    =9*2^(n-1)-6n-1