二次函数知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地,形如 （ 是常数, ）的函数,叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数 ,而 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 的二次式, 的最高次数是2．
⑵ 是常数, 是二次项系数, 是一次项系数, 是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式： 的性质：
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小.
的符号
开口方向顶点坐标对称轴性质
向上
轴
时, 随 的增大而增大； 时, 随 的增大而减小； 时, 有最小值 ．
向下
轴
时, 随 的增大而减小； 时, 随 的增大而增大； 时, 有最大值 ．
2. 的性质：
上加下减.
的符号
开口方向顶点坐标对称轴性质
向上
轴
时, 随 的增大而增大； 时, 随 的增大而减小； 时, 有最小值 ．
向下
轴
时, 随 的增大而减小； 时, 随 的增大而增大； 时, 有最大值 ．
3. 的性质：
左加右减.
的符号
开口方向顶点坐标对称轴性质
向上
X=h 时, 随 的增大而增大； 时, 随 的增大而减小； 时, 有最小值 ．
向下
X=h 时, 随 的增大而减小； 时, 随 的增大而增大； 时, 有最大值 ．
4. 的性质：
的符号
开口方向顶点坐标对称轴性质
向上
X=h 时, 随 的增大而增大； 时, 随 的增大而减小； 时, 有最小值 ．
向下
X=h 时, 随 的增大而减小； 时, 随 的增大而增大； 时, 有最大值 ．
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ,确定其顶点坐标 ；
⑵ 保持抛物线 的形状不变,将其顶点平移到 处,具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“ 值正右移,负左移； 值正上移,负下移”．
概括成八个字“左加右减,上加下减”．
方法二：
⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位, 变成
（或 ）
⑵ 沿轴平移：向左（右）平移 个单位, 变成 （或 ）
四、二次函数 与 的比较
从解析式上看, 与 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即 ,其中 ．
五、二次函数 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 , （若与 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与 轴的交点,与 轴的交点.
六、二次函数 的性质
1. 当 时,抛物线开口向上,对称轴为 ,顶点坐标为 ．
当 时, 随 的增大而减小；当 时, 随 的增大而增大；当 时, 有最小值 ．
2. 当 时,抛物线开口向下,对称轴为 ,顶点坐标为 ．当 时, 随 的增大而增大；当 时, 随 的增大而减小；当 时, 有最大值 ．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： （ , , 为常数, ）；
2. 顶点式： （ , , 为常数, ）；
3. 两根式： （ , , 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 轴有交点,即 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数 中, 作为二次项系数,显然 ．
⑴ 当 时,抛物线开口向上, 的值越大,开口越小,反之 的值越小,开口越大；
⑵ 当 时,抛物线开口向下, 的值越小,开口越小,反之 的值越大,开口越大．
总结起来, 决定了抛物线开口的大小和方向, 的正负决定开口方向, 的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
在二次项系数 确定的前提下, 决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在 的前提下,
当 时, ,即抛物线的对称轴在 轴左侧；
当 时, ,即抛物线的对称轴就是 轴；
当 时, ,即抛物线对称轴在 轴的右侧．
⑵ 在 的前提下,结论刚好与上述相反,即
当 时, ,即抛物线的对称轴在 轴右侧；
当 时, ,即抛物线的对称轴就是 轴；
当 时, ,即抛物线对称轴在 轴的左侧．
总结起来,在 确定的前提下, 决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ,在 轴的右侧则 ,概括的说就是“左同右异”
总结：
3. 常数项
⑴ 当 时,抛物线与 轴的交点在 轴上方,即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当 时,抛物线与 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ；
⑶ 当 时,抛物线与 轴的交点在 轴下方,即抛物线与 轴交点的纵坐标为负．
总结起来, 决定了抛物线与 轴交点的位置．
总之,只要 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
1. 关于 轴对称
关于 轴对称后,得到的解析式是 ；
关于 轴对称后,得到的解析式是 ；
2. 关于 轴对称
关于 轴对称后,得到的解析式是 ；
关于 轴对称后,得到的解析式是 ；
3. 关于原点对称
关于原点对称后,得到的解析式是 ；
关于原点对称后,得到的解析式是 ；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后,得到的解析式是 ；
关于顶点对称后,得到的解析式是 ．
5. 关于点 对称
关于点 对称后,得到的解析式是
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）：
一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况.
图象与 轴的交点个数：
① 当 时,图象与 轴交于两点 ,其中的 是一元二次方程 的两根．这两点间的距离 .
② 当 时,图象与 轴只有一个交点；
③ 当 时,图象与 轴没有交点.
当 时,图象落在 轴的上方,无论 为任何实数,都有 ；
当 时,图象落在 轴的下方,无论 为任何实数,都有 ．
2. 抛物线 的图象与 轴一定相交,交点坐标为 , ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数 中 , , 的符号,或由二次函数中 , , 的符号判断图象的位置,要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
抛物线与 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式 本身就是所含字母 的二次函数；下面以 时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
图像参考：
十一、函数的应用
二次函数应用
二次函数考查重点与常见题型
1．考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如：
已知以 为自变量的二次函数 的图像经过原点, 则 的值是
2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如：
如图,如果函数 的图像在第一、二、三象限内,那么函数 的图像大致是（ ）
y y y y
1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x
A B C D
3．考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如：
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为 ,求这条抛物线的解析式.
4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如：
已知抛物线 （a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3,与y轴交点的纵坐标是－32
（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5．考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题.
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数 的图像如图1,则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示,则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时,函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的关键．
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x1,0),且1