Question

椭圆部分的,那位大虾会做啊,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆交于P和Q,且OP垂直于OQ

Answer 1

y=x+1

x^2/a^2+y^2/b^2=1

b^2*x^2+a^2*y^2=a^2*b^2

b^2*x^2+a^2*(x+1)^2=(ab)^2

(a^2+b^2)x^2+2a^2*x+a^2-(ab)^2=0

xP+xQ=-2a^2/(a^2+b^2)

xP*xQ=[a^2-(ab)^2]/(a^2+b^2)

(yP-yQ)^2=(xP-xQ)^2=(xP+xQ)^2-4xP*xQ=4(ab)^2*(a^2+b^2-1)/(a^2+b^2)^2

PQ^2=(xP-xQ)^2+(yP-yQ)^2=8(ab)^2*(a^2+b^2-1)/(a^2+b^2)^2=(√10/2)^2

5a^4+5b^4+26(ab)^2=16(ab)^2*(a^2+b^2).(1)

yP*yQ

=(xP+1)*(xQ+1)

=xP*xQ+(xP+xQ)+1

=[a^2-(ab)^2]/(a^2+b^2)-2a^2/(a^2+b^2)+1

=[b^2-(ab)^2]/(a^2+b^2)

OP垂直于OQ:

yP*yQ/(xP*xQ)=-1

xP*xQ+yP*yQ=0

[a^2-(ab)^2]/(a^2+b^2)+[b^2-(ab)^2]/(a^2+b^2)=0

a^2+b^2=2(ab)^2.(2)

解方程组（1）、（2）得

a^2=2,b^2=2/3

椭圆的方程:

焦点在坐标x轴上:x^2/2+y^2/(2/3)=1

焦点在坐标y轴上:x^2/(2/3)+y^2/2=1