Question

两道关于罗尔定理的题1） 设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),用罗尔定理说明f’（x）有几个实根,并说

Answer 1

1.首先f'(x)是个3次多项式,他最多3个实根

其次,f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0

所以分别存在a属于(1,2),b属于(2,3),c属于(3,4)

使得f'(a)=f'(b)=f'(c)=0

即a b c都是f'(x)=0的根.所以他们就是f‘的所有根.

即f'(x)=0有三个实根,范围如上所指

2.假如存在非零实数a使得e^a=1+a

即1=(e^a-e^0)/(a-0)

由罗尔定理知道存在k属于(0,a)或者(a,0),使得(e^x)'在x=k点的值=(e^a-e^0)/(a-0)

即e^k=(e^a-e^0)/(a-0)

所以得到1=e^k,k=0.矛盾!