Question

已知直线y=-2x-23与曲线f(x)=13x3-bx相切．

Answer 1

解题思路：（I）先求出导函数f'（x），设出切点（x₀，y₀），然后根据在x=x₀的导数等于切线的斜率，切点在切线和函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可求出b的值；

（II）构造函数

h(x)=f(x)-

x

2

-m=

1

3

x

3

-

x

2

-3x-m

，利用导数研究函数h（x）的单调性，转化成使h（x）图象在（0，+∞）内与x轴有两个不同的交点，建立关系式，解之即可求出m的范围．

（I）∵f(x)=

1

3x3-bx，∴f'（x）=x²-b，

设切点为（x₀，y₀），依题意得∴

1

3

x30-bx0=y0

y0=-2x0-

2

3

x20-b=-2

解得：b=3

（II）设h(x)=f(x)-x2-m=

1

3x3-x2-3x-m

h′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），

令h′（x）=0，得x=-1或x=3

在（0，3）上，h′（x）＜0，故h（x）在（0，3）上单调递减，

在（3，+∞）上，h′（x）＞0，故h（x）在（3，+∞）上是单调递增，

若使h（x）图象在（0，+∞）内与x轴有两个不同的交点，

则需

h(0)=-m＞0

h(3)=-9-m＜0∴-9＜m＜0．

此时存在x＞3时，h（x）＞0，

例如x=5时，h=

125

3-25=15-m=

5

3-m＞0.

∴所求m的范围是-9＜m＜0．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数与方程的综合运用．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线