Question

线代伴随矩阵问题A是n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,则(A*)*= ( )A ㄧAㄧ^n-1 AB ㄧAㄧ^n-2 A

Answer 1

B ㄧAㄧ^n-2 A

线形代数里有一个重要等式:AA*=ㄧAㄧE,无论是否可逆都成立,当A可逆时,可以导出逆矩阵A'=A*/ㄧAㄧ,就是我们学会行变换之前求逆矩阵的极不实用的方法.

现在用A*代替等式AA*=ㄧAㄧE之中的A

得到A* (A*)* = ㄧA*ㄧE

所以(A*)* = ㄧA*ㄧ(A*)'

带入ㄧA*ㄧ=ㄧAㄧ^n-1 和 A* = ㄧAㄧA'

得到(A*)* = ㄧAㄧ^n-1 × (ㄧAㄧA')' = ㄧAㄧ^n-1 ×( A/ㄧAㄧ)=ㄧAㄧ^n-2 A

补充1:公式A* = ㄧAㄧA' 是由 AA*=ㄧAㄧE直接得到的

补充2:公式ㄧA*ㄧ=ㄧAㄧ^n-1是由 AA*=ㄧAㄧE两边取行列式得到的

ㄧAㄧㄧA*ㄧ=ㄧㄧAㄧE ㄧ= ㄧAㄧ^n

所以ㄧA*ㄧ=ㄧAㄧ^n-1

补充3:(ㄧAㄧA')' = A/ㄧAㄧ是由公式(kA)'=(1/k)A 和(A')'=A得到的

补充4:这个与题目没大关系,但挺有用,这类不给数的抽象矩阵乱推导时用的最多,可逆矩阵A,求逆,求转置,求伴随,三者顺序无关,可以任意颠倒.比如(A*)'=(A')*,公式表现为这3个右上角的运算符号可以交换．