Question

如图，O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点，M、N两点分别在BC与AB上，且OM⊥ON．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∵OC=OB，∠OCM=∠OBN=45°，BD⊥AC，

∵OM⊥ON，

∴∠MON=∠COB=90°，

∴∠MON-∠MOB=∠COD-∠MOB，

∴∠COM=∠BON，

∵在△ONB和△OMC中，

∠NOB=∠MOC

OB=OC

∠OBN=∠OCM

∴△ONB≌△OMC（ASA），

∴OM=ON．

（2）CN=DM，CN⊥DM，

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴OC=OD，BD⊥AC，

∴∠DOC=∠BOC=90°，

∵∠COM=∠BON，

∴∠DOC+∠COM=∠BOC+∠BON，

即∠DOM=∠CON，

∵在△DOM和△CON中

OD=OC

∠DOM=∠CON

OM=ON

∴△DOM≌△CON（SAS），

∴CN=DM，∠DMO=∠CNO，

∵∠MON=90°，

∴∠NEO+∠CNO=90°，

∵∠MEC=∠NEO，

∴∠DMO+∠MEC=90°，

∴∠MFE=180°-90°=90°，

∴CN⊥DM．