Question

p为三角形abc所在平面外一点,pa垂直pb,pb垂直pc,pc垂直pa,ph垂直平面abc于h,

Answer 1

（1）证明：

连接ch延长线交ab于点d,连接ah延长线交cb于点e

因为pc垂直于pa,pb垂直于pc

所以pc垂直于平面pab

所以有：pc垂直于ab

因为ph垂直于平面abc

所以ph垂直于ab

ab垂直于平面phc

所以ab垂直于ch

同理可证ah垂直于cb

所以h是三角形abc的垂心

（2）证明：设三角形abc各边长分别为a、b、c

pa=m,pb=n,pc=l

依题可知：

a^2+b^2-2ab*cosC=c^2;①

a^2=l^2+n^2; ②

b^2=m^2+l^2;③

c^2=m^2+n^2;④

②③④代入①得：

(l^2+n^2)+(m^2+n^2)-2ab*cosC=m^2+n^2

化简得：2*l^2-2ab*cosC=0

所以l^2=ab*cosC

因为l^2>0

所以ab*cosC>0

所以C