证明：（1）当n=1时，等式左边=
1
2×4 =
1
8 ，等式右边=
1
4(1+1) =
1
8 ，∴等式成立．
（2）假设n=k（k≥1．k∈N *）时等式成立，
即
1
2×4 +
1
4×6 +
1
6×8 ++
1
2k(2k+2) =
k
4(k+1) 成立，
那么当n=k+1时，
1
2×4 +
1
4×6 +
1
6×8 ++
1
2k(2k+2) +
1
2(k+1)[2(k+1)+2]
=
k
4(k+1) +
1
4(k+1)(k+2)
=
k(k+2)+1
4(k+1)(k+2)
=
(k+1) 2
4(k+1)(k+2)
=
k+1
4[(k+1)+1]
即n=k+1时等式成立．由（1）、（2）可知，对任意n∈N *等式均成立．