Question

是否存在常数a.b使等式1^3+2^3+……n^3=an^2（n+b)^2对于任意正整数都成立?若成立求出ab并证明,不

Answer 1

存在a=1/4,b=1使等于对于任意正整数都成立!

解法：n=1和n=2得到方程组1=a(1+b)^2,9=4a(2+b)^2

解得a=1/4,b=1

即1^3+2^3+……n^3=n^2*（n+1)^2/4对于任意正整数都成立

用数学归纳法证明如下：

（1）n=1,n=2已成立

（2）假设当n=k(k属于N*,k>=1)时成立,

即1^3+2^3+……k^3=k^2*（k+1)^2/4

则当n=k+1时,

1^3+2^3+……k^3+（k+1)^2=k^2*（k+1)^2/4+(k+1)^3

=(k+1)^2*(k^2/4+k+1)=(k+1)^2*(k^2+4k+4)/4=(k+1)^2*(k+2)^2/4

=(k+1)^2*[(k+1)+1]^2/4

即n=k+1时也成立

（3）综上,1^3+2^3+……n^3=n^2*（n+1)^2/4对于任意正整数都成立