解题思路：（Ⅰ）求a1，a2的值只需要把n=1，2时代入即可顺利解答；
（Ⅱ）求通项公式需要利用重要性质：当n≥2时，an=Sn-Sn-1，本题这一问利用这个结论可以得到含Sn，Sn-1的关系式，求出前几项S1，S2，S3，猜想出Sn，然后用数学归纳法证明即可．
（Ⅲ）利用（II）的结论以及条件1-Sn=anbn很容易得到 bn的关系式，然后利用放缩法解答证明这一问，需要适当的变形．
（Ⅰ）S12−(a1+2)S1+1＝0⇒a1＝
1
2，
S22−(a2+2)S2+1＝0⇒a2＝
1
6…（3分）
（Ⅱ） Sn2-（an+2）Sn+1=0…①
当n≥2时，an=Sn-Sn-1代入①式得SnSn-1-2Sn+1=0…②…（5分）
由 （Ⅰ） 知S1＝
1
2，S2＝a1+a2＝
2
3，S3＝
1
2−S2＝
3
4
猜想Sn＝
n
n+1…（6分）
下用数学归纳法证明
（1°）n=1已证明；
（2°）假设n＝k，Sk＝
k
k+1
则n=k+1时Sk+1Sk-2Sk+1=0Sk+1＝
1
2−
k
k+1＝
k+1
k+1+1成立
综合1°，2°猜想成立．
∴当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝
1
n(n+1)，当n=1时也满足，故an＝
1
n(n+1)，(n∈N*)
（Ⅲ）由（Ⅱ） bn=n，cn≤
a
1+(n−1)a＝
1
1
a+n−1＜
1
n，则
n
k＝1
ck
k+1＜
n
k＝1
1
k(k+1)＝1−
1
n+1＜1…（13分）
点评：
本题考点： 用数学归纳法证明不等式；数列递推式．
考点点评： 本题考查数列的递推公式的概念以及求数列通项的知识，第（I）问属于低档题目，第（II）问中要先求出Sn的关系式，再来求{an}的通项公式，再递推式SnSn-1-2Sn+1=0比较烦琐又很难归求出Sn的关系式时，可以先求出前几项，猜想出Sn的公式，再利用数学归纳法证明之，这是一个不错的解题思路．本题还综合考查了不等式的放缩法，分离法求数列前n项和这个重要考点！