过抛物线y²=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A、B两点.

2个回答

  • 1、假如θ=90°,【反正是特殊情况,你可以自己算】,此时|AB|=2p;

    2、假如θ≠90°,设:

    AB:y=k(x-p/2),其中k=tanθ.将直线方程代入抛物线y²=2px中,得:

    k²(x-p/2)²=2px

    k²x²-(k²+2)px+(1/4)k²p²=0 --------------------------------------------(1)

    则:|AB|=√(1+k²)×|x1-x2|

    =√(1+k²)×√[(x1+x2)²-4x1x2]

    =2p/(sin²θ)

    综合,有:|AB|=2p/sin²θ

    3、设:AB中点是M(x,y)

    由(1),得:

    x=[(k²+2)p]/(2k²) -------------------------------------(2)

    因y=k(x-p/2),得:k=y/[x-p/2],代入(2)中,得:

    (2x)/(p)=1+2(x-p/2)²/(y²)

    化简下即可.