Question

M,N分别是四边形ABCD边AB,CD中点.BN与CM交与点P,AN与MD交与Q,求证：S四边形MONP=S三角形BCP

Answer 1

证明：

全过程只需一条性质：

三角形中线把三角形分成面积相等的两部分.

S(DMC)

=S(ABCD)-S(AMD)-S(BMC)

=[(1/2)S(ABCD)-S(AMD)]+[(1/2)S(ABCD)-S(BMC)]

首先看前一个中括号中

(1/2)S(ABCD)

=(1/2)[S(ABD)+S(BDC)]

=(1/2)S(ABD)+(1/2)S(BDC)

=S(AMD)+S(BCN)

所以(1/2)S(ABCD)-S(AMD)

=S(AMD)+S(BCN)-S(AMD)

=S(BCN)

同理后一个中括号

(1/2)S(ABCD)-S(BMC)

=S(ADN)

综上所述

S(DMC)

=S(ADN)+S(BCN)

两边同时减去S(DQN)+S(PCN):

S(MQNP)

S(DMC)-[S(DQN)+S(PCN)]

=[S(ADN)-S(DQN)]+[S(BCN)-S(PCN)]

=S(AQD)+S(BPC)

证毕.