(1)已知a,b是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),求证:a2x+b2y≥(a+b)2x+y,指出等号成立的条件;

1个回答

  • 解题思路:(1)利用基本不等式a2+b2≥2ab,乘积一定,和有最小值,等号成立的条件是两正数相等;

    (2)利用(1)的结论,将(2)变形为

    f(x)=

    2

    2

    2x

    +

    3

    2

    1−2x

    即可.

    (1)应用二元均值不等式,得(

    a2

    x+

    b2

    y)(x+y)=a2+b2+a2

    y

    x+b2

    x

    y≥a2+b2+2

    a2

    y

    xb2

    x

    y=(a+b)2

    a2

    x+

    b2

    y≥

    (a+b)2

    x+y.

    当且仅当a2

    y

    x=b2

    x

    y,即[a/x=

    b

    y]时上式取等号.

    (2)由(1)f(x)=

    22

    2x+

    32

    1−2x≥

    (2+3)2

    2x+(1−2x)=25.

    当且仅当[2/2x=

    3

    1−2x],即x=

    1

    5时上式取最小值,即[f(x)]min=25.

    点评:

    本题考点: 不等式的综合.

    考点点评: 本题考查不等式的应用,另外给你一种解题工具,让你应用它来解答某一问题,这是近年考试命题的一种新颖的题型之一,很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质.