Question

（2007•湛江二模）有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币：①骰子出现1点时

Answer 1

解题思路：（I）把骰子掷了n+1次，硬币仍然正面朝上的概率为P_n+1，此时有两种情况：第n次硬币正面朝上，其概率为P_n，且第n+1次骰子出现1点或6点，硬币不动；第n次硬币反面朝上，其概率为1-P_n，且第n+1次骰子出现2，3，4，5点或6点，求出相应的概率，即可得出结论；

（II）确定{

P

n

−

5

9

}是首项为

P

1

−

5

9

＝

1

3

−

5

9

＝−

2

9

，公比为

−

1

2

的等比数列，即可求数列的通项；

（III）解法一：确定S_1→k，S_k+1→2k，…，S_{（n-1）k+1→nk}，…，也成等比数列，从而可求和；

解法二：T_n=S_1→k+S_k+1→2k+…+S_{（n-1）k+1→nk}=a₁+a₂+…+a_nk，可得结论．

（Ⅰ）证明：设把骰子掷了n+1次，硬币仍然正面朝上的概率为P_n+1，此时有两种情况：

①第n次硬币正面朝上，其概率为P_n，且第n+1次骰子出现1点或6点，硬币不动，其概率为[2/6＝

1

3]，

因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为[1/3Pn．…（3分）

②第n次硬币反面朝上，其概率为1-P_n，且第n+1次骰子出现2，3，4，5点或6点，其概率为

5

6]，

因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为[5/6(1−Pn)．

∴Pn+1＝

1

3Pn+

5

6(1−Pn)，变形得 Pn+1−

5

9＝−

1

2( Pn−

5

9 )．

∴点（P_n，P_n+1）恒在过定点（

5

9]，[5/9]），斜率为−

1

2的直线上．…（6分）

（Ⅱ）P₀=1，P1＝

1

3P0+

5

6(1−P0)＝

1

3，

又由（Ⅰ）知：

Pn+1−

5

9

Pn−

5

9＝−

1

2，

∴{Pn−

5

9}是首项为P1−

5

9＝

1

3−

5

9＝−

2

9，公比为−

1

2的等比数列，…（8分）

∴Pn−

5

9＝−

2

9•(

点评：

本题考点： 数列与解析几何的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列与解析几何的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．