如图,在等腰梯形ABCD中,已知AD∥BC,AB=DC,AD=2,BC=4,延长BC到E,使CE=AD.

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  • 解题思路:第一问AB=DC,AD=CE容易知道,关键要会观察∠BAD=∠CDA=∠DCE;第二问由AC∥DE,∵AC⊥BD,∴DE⊥BD,然后推出△BDE是等腰三角形是关键.

    (1)证明:∵AD∥BC,

    ∴∠CDA=∠DCE.(1分)

    又∵四边形ABCD是等腰梯形,

    ∴∠BAD=∠CDA,(2分)

    ∴∠BAD=∠DCE.(3分)

    ∵AB=DC,AD=CE,

    ∴△BAD≌△DCE;(5分)

    (2)∵AD=CE,AD∥BC,

    ∴四边形ACED是平行四边形,(7分)

    ∴AC∥DE.(8分)

    ∵AC⊥BD,

    ∴DE⊥BD.(9分)

    由(1)可知,△BAD≌△DCE,

    ∴DE=BD.(10分)

    所以,△BDE是等腰直角三角形,即∠E=45°,

    ∴DF=FE=FC+CE.(12分)

    ∵四边形ABCD是等腰梯形,而AD=2,BC=4,

    ∴FC=[1/2](BC-AD)=[1/2](4-2)=1.(13分)

    ∵CE=AD=2,

    ∴DF=3.(14分)

    点评:

    本题考点: 等腰梯形的性质;全等三角形的判定.

    考点点评: 要掌握等腰三角形和等腰梯形的性质,还要善于观察和推理.