2008年全国初中数学竞赛山东赛区
预赛暨2007年山东省初中数学竞赛试题
一、选择题(本题共8小题,每小题6分,满分48分)：下面各题给出的选项中,只有一项是正确的,请将正确选项的代号填在题后的括号内．
1.已知函数y = x2 + 1– x ,点P(x,y)在该函数的图象上.那么,点P(x,y)应在直角坐标平面的 ( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
2．一只盒子中有红球m个,白球10个,黑球n个,每个球除颜色外都相同,从中任取一个球,取得是白球的概率与不是白球的概率相同,那么m与n的关系是 ( )
(A) m + n = 10 (B) m + n = 5 (C) m = n = 10 (D) m = 2,n = 3
3．我省规定：每年11月的最后一个星期日举行初中数学竞赛,明年举行初中数学竞赛的日期是 ( )
(A)11月26日 (B)11月27日 (C)11月29日 (D)11月30日
4.在平面直角坐标系中有两点A(–2,2),B(3,2),C是坐标轴上的一点,若△ABC是直角三角形,则满足条件的点C有 ( )
(A)1个 (B)2个 (C)4个 (D)6个
5．如图,在正三角形ABC的边BC,CA上分别有点E、F,且满足
BE = CF = a,EC = FA = b (a > b ).当BF平分AE时,则 ab 的值为 （ ）
(A) 5 – 12 (B) 5 – 22 (C) 5 + 12 (D) 5 + 22
6．某单位在一快餐店订了22盒盒饭,共花费140元,盒饭共有甲、乙、丙三种,它们的单价 分别为8元、5元、3元．那么可能的不同订餐方案有 ( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
7．已知a > 0,b > 0且a (a + 4b ) = 3b (a + 2b ).则 a + 6ab – 8b2a – 3ab + 2b 的值为 ( )
(A)1 (B)2 (C) 1911 (D) 2
8．如图,在梯形ABCD中,∠D = 90°,M是AB的中点,若
CM = 6.5,BC + CD + DA = 17,则梯形ABCD的面积为 ( )
(A)20 (B)30 (C)40 (D)50
二、填空题(本题共4小题,每小题8分,满分32分)：将答案
直接填写在对应题目中的横线上．
9．如图,在菱形ABCD中,∠A = 100°,M,N分别是AB和BC
的中点,MP⊥CD于P,则∠NPC的度数为 ．
10．若实数a 满足a3 + a2 – 3a + 2 = 3a – 1a2 – 1a3 ,
则 a + 1a = ．
11．如图,在△ABC中∠BAC = 45°,AD⊥BC于D,若BD = 3,CD
= 2,则S⊿ABC = .
12．一次函数 y = – 3 3 x + 1 与 x 轴,y轴分别交于
点A,B．以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD (如
图)．在第二象限内有一点P(a,12 ),满足S△ABP = S正方形ABCD ,
则a = ．
三,解答题(本题共3小题,每小题20分,满分60分)
13,如图,点Al,Bl,C1分别在△ABC的边AB,BC,CA上,
且AA1AB = BB1BC = CC1CA = k ( k < 12 )．若△ABC的周长为p,△A1B1C1
的周长为p1,求证：p1 < (1 – k)p.
14．某校一间宿舍里住有若干位学生,其中一人担任舍长．元旦时,该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡,并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡,每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡,这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．
15．若a1,a2,…,an均为正整数,且a1 < a2< … < an≤ 2007．为保证这些整数中总存在四个互不相同的数ai,aj,ak,al,使得ai + aj = ak + al = an,那么n的最小值是多少?并说明理由．
参考答案：
一． BADDC CBB 二.9.50° 10.2或– 3 11.15 12.3 2 – 8．
三．13.略 14.6位学生 15.略.