设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d (a、b、c、d∈R)图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极

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  • 解题思路:(1)根据奇偶性判断b、d的值,再有在1处的极值求出a、c.

    (2)用假设法证明.对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在x1,x2,则f'(x1)•f'(x2)=-1,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.

    (3)函数在1和-1处取代极值,判断其为最值,根据两最值之差最大,证明问题.

    (1)∵函数f(x)图象关于原点对称,∴对任意实数x,都有f(-x)=-f(x).

    ∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d,即bx2-2d=0恒成立.

    ∴b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx.∴f′(x)=3ax2+c.

    ∵x=1时,f(x)取极小值-[2/3].∴f′(1)=0且f(1)=-[2/3],

    即3a+c=0且a+c=-[2/3].解得a=[1/3],c=-1.

    (2)当x∈[-1,1]时,图象上不存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直

    证明:假设存在x1,x2,则f'(x1)•f'(x2)=-1

    所以(x12-1)(x22-1)=-1

    因为x1,x2∈[-1,1]所以x12-1,x22-1∈[-1,0]

    因此(x12-1)(x22-1)≠-1

    所以不存在.

    (3)证明:∵f′(x)=x2-1,由f′(x)=0,得x=±1.

    当x∈(-∞,-1)或(1,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(-1,1)时,f′(x)<0.

    ∴f(x)在[-1,1]上是减函数,且fmax(x)=f(-1)=[2/3],fmin(x)=f(1)=-[2/3].

    ∴在[-1,1]上,|f(x)|≤[2/3].

    于是x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=[2/3]+[2/3]=[4/3].

    故x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤[4/3].

    点评:

    本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数奇偶性的性质;函数在某点取得极值的条件;利用导数求闭区间上函数的最值.

    考点点评: 本题主要考查了函数在某点取得极值的条件,以及利用导数求闭区间上函数的最值,同时考查了分析问题的能力和转化的数学思想,属于中档题.