Question

设数列an满足a1+2a2+3a3+.+nan=2^n(n属于N*）求数列an的通项公式 设bn=n^2an,求数列bn

Answer 1

1、

a1+2a2+3a3+.+nan=2^n (1)

a1+2a2+3a3+.+(n-1) a(n-1)=2 ^(n-1) (2)

(1)-(2)

nan=2^n-2 ^(n-1),

nan=2 ^(n-1),

{an}的通项公式为an= 2 ^(n-1)/n.

2、

bn=n^2an=n* 2 ^(n-1).

Sn=b1+b2+...+bn

Sn=1+2*2+3*2^2+……+ n* 2 ^(n-1),

所以2Sn =1*2+2*2^2+……+ (n-1)* 2 ^(n-1) +n* 2 ^n,

以上两式相减得：

- Sn=1+2+2^2+2^3+……+2^(n-1) -n* 2 ^n,

- Sn=1*(1-2^n)/(1-2) -n* 2 ^n,

- Sn=2^n-1-n* 2 ^n,

- Sn=(1-n)*2^n-1

Sn=( n -1)*2^n+1.