Question

圆x^2+y^2-2x-2y+1=0的切线与x轴、y轴分别交于A、B两点,且A(a,0),B(0,b),a>2,b>2

Answer 1

写出直线AB的截距式方程x/a+y/b=1,化简得bx+ay-ab=0

因为 AB与圆相切

所以 |b+a-ab|^2/(a^2+b^2)=1

化简得 ab+2=2a+2b

因为 AB的中点是(a/2,b/2)

所以 线段AB中点的轨迹方程是:2xy+1=2x+2y(x>1,y>1)

S△AOB=ab*(1/2)

ab+2=2(a+b)≥4(ab)^(1/2)

解这个关于ab^(1/2)的不等式,

解得 ab≥6+4sqr(2)

当且仅当a=b时,等号成立

因为 a可以等于b

所以 ab的最小值是6+4sqr(2)

所以 △AOB面积的最小值为3+2sqr(2)