解题思路：（1）先求出导函数，根据x=1时f（x）取得极值求出a=2；再令导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；
（2）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．
（1）当a=1时，f（x）=x2-3x+lnx，
令f′(x)＝
2x2−3x+1
x＞0，解得x＞1或x＜
1
2．
则函数f（x）的单调增区间为(0，
1
2)，(1，+∞)
（2）f（x）=x2-（2a+1）x+alnx，
令f′(x)＝2x−(2a+1)+
a
x＝
2x2−(2a+1)x+a
x＝
(2x−1)(x−a)
x＝0
①当[1/2＜a≤1，x∈[1，e]，f'（x）＞0，f（x）单调增．f（x）min=g（1）=-2a．
②当1＜a＜e，x∈（1，a），f'（x）＜0，f（x）单调减．，x∈（a，e），f'（x）＞0，f（x）单调增．f(x)min＝f(a)＝−a2−a+alna
③当a≥e，x∈[1，e]，f'（x）＜0，f（x）单调减，f(x)min＝f(e)＝e2−(2a+1)e+a
故函数f（x）在区间[1，e]上的最小值f(x)min＝
−2a，
1
2＜a≤1
−a2−a+alna，1＜a＜e
e2−(2a+1)e+a，a≥e]
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．