解题思路:(1)根据已知推出△BAE∽△CAB,得出∠ACB=∠DBA,推出
AD
=
AB
即可;
(2)分为两种情况:画出图形①当点O在△ABD内时,连接AO延长到F交BD于F,连接OB,求出OF,求出AF、BF,根据三角形的面积求出即可;②当点O在△ABD外时,连接AO交BD于G,连接OB,求出OG,求出AG、BG,根据三角形的面积求出即可.
(1)△ABD的形状是等腰三角形,
理由是:∵AB2=AE•AC,
∴[AB/AE]=[AC/AB],
∵∠BAE=∠CAB,
∴△BAE∽△CAB,
∴∠ACB=∠DBA,
∴
AD=
AB,
∴AD=AB,
即△ABD是等腰三角形;
(2)分为两种情况:
①当点O在△ABD内时,连接AO延长到F交BD于F,连接OB,
∵AD=AB,⊙O是△ABD的外接圆,
∴O在BD的垂直平分线上,
∴根据等腰三角形三线合一定理得出:AF⊥BD,
∵OF过O,BD=8,
∴BF=[1/2]BD=4,OA=OB=5,
在Rt△BFO中,OF=
52−42=3,
∴AF=OA+OF=5+3=8,
∴△ABD的面积是[1/2]×AF×BD=[1/2]×8×8=32;
②当点O在△ABD外时,
连接AO交BD于点G,连接OB,
即AO⊥BD,BG=[1/2]BD=4,OA=OB=5,
∵在Rt△BOG中,由勾股定理得:OG=3,
∴AG=OA-OG=5-3=2,
∴△ABD的面积是:[1/2]×BD×AG=[1/2]×2×8=8;
即△AND的面积是32或8.
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定;勾股定理;垂径定理;圆周角定理.
考点点评: 本题考查了垂径定理,三角形的面积,相似三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,三角形的外接圆,圆周角定理,圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的综合运用.