(2013•盐城模拟)已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为5,对角线AC与BD的交点为E,且AB2=AE•AC,BD=

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  • 解题思路:(1)根据已知推出△BAE∽△CAB,得出∠ACB=∠DBA,推出

    AD

    =

    AB

    即可;

    (2)分为两种情况:画出图形①当点O在△ABD内时,连接AO延长到F交BD于F,连接OB,求出OF,求出AF、BF,根据三角形的面积求出即可;②当点O在△ABD外时,连接AO交BD于G,连接OB,求出OG,求出AG、BG,根据三角形的面积求出即可.

    (1)△ABD的形状是等腰三角形,

    理由是:∵AB2=AE•AC,

    ∴[AB/AE]=[AC/AB],

    ∵∠BAE=∠CAB,

    ∴△BAE∽△CAB,

    ∴∠ACB=∠DBA,

    AD=

    AB,

    ∴AD=AB,

    即△ABD是等腰三角形;

    (2)分为两种情况:

    ①当点O在△ABD内时,连接AO延长到F交BD于F,连接OB,

    ∵AD=AB,⊙O是△ABD的外接圆,

    ∴O在BD的垂直平分线上,

    ∴根据等腰三角形三线合一定理得出:AF⊥BD,

    ∵OF过O,BD=8,

    ∴BF=[1/2]BD=4,OA=OB=5,

    在Rt△BFO中,OF=

    52−42=3,

    ∴AF=OA+OF=5+3=8,

    ∴△ABD的面积是[1/2]×AF×BD=[1/2]×8×8=32;

    ②当点O在△ABD外时,

    连接AO交BD于点G,连接OB,

    即AO⊥BD,BG=[1/2]BD=4,OA=OB=5,

    ∵在Rt△BOG中,由勾股定理得:OG=3,

    ∴AG=OA-OG=5-3=2,

    ∴△ABD的面积是:[1/2]×BD×AG=[1/2]×2×8=8;

    即△AND的面积是32或8.

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定;勾股定理;垂径定理;圆周角定理.

    考点点评: 本题考查了垂径定理,三角形的面积,相似三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,三角形的外接圆,圆周角定理,圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的综合运用.