Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=x，BC=1，对角线AC与BD的夹角∠BOC=45°，记直线AB与CD的距离为h（x

Answer 1

解题思路：利用由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和，结合余弦定理，S_△BCD=4S_△OBC，即可求出h（x）的表达式，利用基本不等式，可以写出x的取值范围．

由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得

OB2+OC2＝

1

2(AB2+BC2)＝

1

2(x2+1)．①

在△OBC中，由余弦定理

BC²=OB²+OC²-2OB•OC•cos∠BOC，

所以OB2+OC2−

2OB•OC=1，②

由①，②得OB•OC=

x2−1

2

2．③

所以S_△BCD=4S_△OBC=4•

1

2OB•OC•sin∠BOC=

2OB•OC=

x2−1

2，

故AB•h（x）=

x2−1

2，

所以h（x）=

x2−1

2x

由③可得，x²-1＞0，故x＞1．

因为OB²+OC²≥2OB•OC，结合②，③可得

x2+1

2≥2•

x2−1

2

2，

因为x＞1，

所以1＜x≤

点评：

本题考点： 余弦定理的应用．

考点点评： 本题考查平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和，考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．