Question

（2013•蓟县二模）已知数列{an}的首项a1=1，a2=3，前n项和为Sn，且Sn+1-SnSn-Sn-1=2an+

Answer 1

解题思路：（I）根据已知等式，将a_n=S_n-S_n-1和a_n+1=S_n+1-S_n代入，化简整理得a_n+1=2a_n+1，由此即可证出数列{a_n+1}是公比为2的等比数列；

（II）根据（I）的结论算出a_n=2ⁿ-1，利用对数的运算法则算出b_n+1-b_n=n，采用累加的方法算出b_n=1+

n(n-1)

2

．从而化简出

c

n

=n•

2

n-1

-

n

2

，利用错位相减法并结合等差数列的求和公式，即可算出c₁+c₂+c₃+…+c_n的值；

（II）首先根据a_n通项公式算出l_n=n（n∈N^*），结合题意利用等差、等比数列的求和公式算出得到数列{t_n}中，l_k（含其本身）前的所有项之和等于

k(k+1)

2

+2^k-2．再验证当k=10时，和为1077＜2011；

当k=11时，和为2112＞2011．从而得到2011项在k=10与k=11之间，而2011-1077=467×2恰好为2的整数倍，由此加以计算即可得到存在m=998，使得T_m=2011．

（I）∵

Sn+1-Sn

Sn-Sn-1=

2an+1

an

∴

an+1

an=

2an+1

an，化简得a_n+1=2a_n+1

由此可得a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1）

∴数列{a_n+1}是公比为2的等比数列；

（II）由（I），得a_n+1=（a₁+1）•2^n-1

∵a₁+1=2，∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，因此a_n=2ⁿ-1，

得b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n，即b_n+1=log₂2ⁿ+b_n，b_n+1=n+b_n，

∴b_n+1-b_n=n，分别取n=1、2、3、…、n-1

得b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+（b₄-b₃）+…+（b_n-b_n-1）

=1+[1+2+3+…+（n-1）]=1+

n(n-1)

2

∴cn=-an(bn-

n2

2-1)=(2n-1)•

n

2=n•2n-1-

n

2

令An=1•20+2•21+3•22+…+n•2n-1①

可得2An=1•21+2•22+3•23+…+n•2n②…（6分）

①-②得-An=1+21+22+23+…+2n-1-n•2n…（7分）

∴-A_n=

1-2n

1-2-n•2n=2n-1-n•2n，整理得A_n=（n-1）2ⁿ+1

令B_n=[1/2]（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

4

∴c₁+c₂+…+c_n=A_n-B_n=（n-1）2ⁿ+1-

n(n+1)

4…（10分）

（I）∵l_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n（n∈N^*）

数列{t_n}中，l_k（含其本身）前的所有项之和

点评：

本题考点： 数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题着重考查了等差、等比数列的通项公式与求和公式、数列的通项与求和和对数的运算法则等知识，考查了转化、化归与函数方程数学思想的应用，属于中档题．