用in表示元素对集合的属于关系.
不妨设x in s1
且y in s2
那么x-y in s3.
根据已知条件,
因为x-y in s3
且x in s1
所以-y in s2.
同理可证,-x in s1,以及y-x in s3.
因此,对于任意一个集合,它的元素都是成对（一正一负）出现的.
容易知道,x+y in s3,-x-y in s3.
如果某个集合（如S2）中含有元素0,那么由x-0=x,知道S1和S3的元素全部相同,S1=S3.
如果x（in S1）,y（in S2）都不是0,那么容易知道S3中的元素x+y和x-y中必有一个的绝对值小于x和y的绝对值较大的一个（分同号和异号讨论）.
不妨设|x|>|x-y|,那么取S2中的y和S3中的x-y重复使用上述规则,从而得到一串绝对值递减的数列：|x|,|x-y|,|x-2y|,……
但是绝对值递减的整数列不能无限下去,因此必然最终得到0（无穷递降法）.
所以,我们证明了必然有一个集合中含有0元素.从而得到结论.