Question

an=√(1*2)+√(2*3)+√(3*4)……+√[n(n+1)],n=1.2 3 4 ……证明n(n+1)/2＜a

Answer 1

an=√(1*2)+√(2*3)+√(3*4)+...+√[n(n+1)].

[[[[1]]]

由基本不等式可得:2√[n(n+1)]＜n+(n+1)

即恒有:2√[n(n+1)]＜2n+1.n=1,2,3,4,

由此可得

2√(1*2)＜2×1+1

2√(2*3)＜2×2+1

2√(3*4)＜2×3+1

.

2√[n(n+1)]＜2n+1

上面式子累加,可得

2(an)＜n+n(n+1)=n²+2n＜(n+1)²

∴an＜(n+1)²/2

[[[[2]]]]

易知,恒有:n(n+1)＞n²,n=1,2,3,4,

∴恒有:√[n(n+1)]＞n

由此可得

√(1*2)＞1

√(2*3)＞2

...

√[n(n+1)]＞n

累加,可得

an＞n(n+1)/2

上面结合起来,即可证明.