Question

已知cosα-cosβ=b,sinα-sinβ=a(a,b为常数),则cos(α-β)=?

Answer 1

cos(α-β)=1-(b^2+a^2)/2

∵cosα-cosβ=b

∴(cosα-cosβ)^2=b^2

cos^2 α+cos^2 β -2cosαcosβ=b^2 [1]

∵sinα-sinβ=a

∴(sinα-sinβ)^2=a^2

sin^2 α+sin^2 β -2sinαsinβ=a^2 [2]

∵将[1]+[2]得：

cos^2 α+cos^2 β -2cosαcosβ + sin^2 α+sin^2 β -2sinαsinβ=b^2+a^2

2-2cosαcosβ-2sinαsinβ=b^2+a^2

2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=b^2+a^2

2-2cos(α-β)=b^2+a^2

cos(α-β)=(2-b^2-a^2)/2=1-(b^2+a^2)/2

∴cos(α-β)=1-(b^2+a^2)/2