解题思路：（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为60°的性质可求得△BCD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得AE=BD．
（2）根据全等三角形的性质可得∠1=∠2，根据三角形内角与外角的关系可得∠1+∠AEC=∠ACB=60°，再进行等量代换可得∠2++∠AEC=60°=∠AHB；
（3）首先证明△DFC≌△EGC可得CF=CG，进而证出△CFG是等边三角形，则∠CFG=∠FCB=60°，再根据内错角相等，两直线平行可得结论．
证明：∵△ABC和△DEC都是等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠ACD+∠ACB，∠BCD=∠DCE+∠DCA，
即：∠ACE=∠BCD，
在△BCD和△ACE中，
BC＝AC
∠BCD＝∠ACE
DC＝CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD．
（2）∵△BCD≌△ACE，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠AEC=∠ACB=60°，
∴∠2++∠AEC=60°，
∵∠2+∠AEC=∠AHB，
∴∠AHB=60°；
（3））∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC=∠CEG，
∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=180°-60°-60°=60°，
在△DFC和△EGC中，
∠FDC＝∠GEC
∠FCG＝∠GCB＝60°
CB＝DC，
∴△DFC≌△EGC（AAS），
∴CF=CG，
∴△CFG是等边三角形，
∴∠CFG=∠FCB=60°，
∴FG∥BE．
点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
考点点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形全等的判定方法SSS、SAS、AAS、ASA．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．