Question

已知互不相等的实数a，b，c满足a+1b＝b+1c＝c+1a＝t，则t=______．

Answer 1

解题思路：首先设a+[1/b]=t，可得b=[1/t−a]，代入b+[1/c]=t，整理可得ct²-（ac+1）t+（a-c）=0 ①，又由c+[1/a]=t，可得ac+1=at②，将②代入①，即可得（c-a）（t²-1）=0，又由实数a，b，c互不相等，即可求得答案．

设a+[1/b]=t，

则b=[1/t−a]，

代入b+[1/c]=t，得：[1/t−a]+[1/c]=t，

整理得：ct²-（ac+1）t+（a-c）=0 ①

又由c+[1/a]=t，可得ac+1=at②，

把②代入①式得ct²-at²+（a-c）=0，

即（c-a）（t²-1）=0，

又∵c≠a，

∴t²-1=0，

∴t=±1．

验证可知：b=[1/1−a]，c=[a−1/a]时，t=1； b=-[1/1+a]，c=-[a+1/a]时，t=-1．

∴t=±1．

故答案为：±1．

点评：

本题考点： 对称式和轮换对称式．

考点点评： 此题考查了对称式和轮换对称式的知识．此题难度比较大，注意设a+[1/b]=t，从而得到方程ct2-（ac+1）t+（a-c）=0 ①与ac+1=at②是解此题的关键．