Question

设α、β是方程x2-2kx+k+6=0的两个实根，则（α-1）2+（β-1）2的最小值是______．

Answer 1

解题思路：由判别式△大于或等于零求出k的范围，由一元二次方程根与系数的关系求得α+β=2k，αβ=k+6，代入要求的式子化简为4•

(k−

3

4

)

2

-[49/4]，故当k=3时，（α-1）²+（β-1）²有最小值，运算求得结果．

∵α、β是方程x²-2kx+k+6=0的两个实根，

∴判别式△=4k²-4（k+6）=4（k-3）（k+2）≥0，解得 k≥3，或 k≤-2．

且α+β=2k，αβ=k+6，

∴（α-1）²+（β-1）² =α²+β²-2（α+β ）+2=（α+β）²-2αβ-2（α+β ）+2=4k²-2（k+6）-2•2k+2=4•(k−

3

4)2-[49/4]，

故当k=3时，（α-1）²+（β-1）²有最小值是 4•(3−

3

4)2-[49/4]=8，

故答案为 8．

点评：

本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质的应用，属于中档题．