Question

（2012•鹰潭一模）已知函数f（x）=ex-ln（x+m）-1在x=0处取得极值．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）求导函数，根据函数f（x）=e^x-ln（x+m）-1在x=0处取得极值，可得f'（x）=0，从而可求m=1，进而可确定函数的单调性，从而可求函数f（x）的最小值；

（Ⅱ）构造函数G（x）=e^x-b-1-ln[x+1/b+1]，G'（x）=e^x-b-[1/x+1]，可得当x＞b≥0时，G'（x）＞0，所以G（x）单调递增，根据 G（b）=1-[1/b+1]=

b

b+1

≥0

，即可证得结论．

证明：（Ⅰ）求导函数，f′(x)＝ex−

1

x+m

因为函数f（x）=e^x-ln（x+m）-1在x=0处取得极值，所以f'（x）=0，∴m=1

所以f′(x)＝ex−

1

x+1，函数的定义域为（-1，+∞）

∵-1＜x＜0时，f'（x）＜0；x＞0时，f'（x）＞0；

∴x=0是函数的极小值点，也是最小值点

∴函数f（x）的最小值为f（0）=0

（Ⅱ）构造函数G（x）=e^x-b-1-ln[x+1/b+1]，G'（x）=e^x-b-[1/x+1]

当x＞b≥0时，G'（x）＞0，所以G（x）单调递增

又因为 G（b）=1-[1/b+1]=[b/b+1≥0

∴0≤b＜a，G（a）＞G（b）≥0

∴e^a-b-1-ln

a+1

b+1]＞0

即 ea−b−1＞ln

a+1

b+1

点评：

本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，考查构造函数证明不等式，解题的关键是构建函数，正确求导．