Question

求微分方程y″+y′-2y=xex+sin2x的通解．

Answer 1

解题思路：首先，将齐次方程的特征根通解求出来；然后将微分方程y″+y′-2y=xe^x+sin²x拆开成微分方程y″+y′-2y=xe^x和微分方程y″+y′-2y=sin²x，分别求这两者的特解；再根据非齐次的解等于齐次的通解加上非齐次的特解求出来．

由于特征方程为λ²+λ-2=0，解得特征根为λ₁=-2，λ₂=1，

∴y″+y′-2y=0的通解为y=C₁e^-2x+C₂e^x．

设y″+y′-2y=xe^x（*）

y″+y′-2y=sin²x （**）

由于（*）的f（x）=xe^x，λ=1是特征根，故令（*）的特解为y₁（x）=（ax²+bx）e^x，

代入（*）得a＝

1

6，b＝−

1

9，

由y″+y′-2y=sin²x得

y″+y′−2y＝

1

2(1−cos2x)，

显然y″+y′−2y＝

1

2，有特解y＝−

1

4，

对y″+y′−2y＝−

1

2cos2x，由于f(x)＝−

1

2cos2x，故

令其特解为y₂（x）=Acos2x+Bsin2x，代入得A＝

3

40，B＝−

1

40，则

y2(x)＝−

1

4+

3

40cos2x−

1

40sin2x，所以原方程的通解为

y＝C1e−2x+C2ex+(

1

6x2−

x

9)ex+(−

1

4+

3

40cos2x−

1

40sin2x)

点评：

本题考点： 二阶常系数非齐次线性微分方程求解．

考点点评： 此题考查二阶非齐次线性微分方程的求解，需要注意的是，求特解时，将其拆开成两个微分方程的形式，分别求．