Question

已知双曲线x225−y2144＝1的左右焦点分别为F1，F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上求一点P，使|PF1|是P

Answer 1

解题思路：先求出焦点的坐标，利用题中条件、双曲线的第一定义、第二定义，求出|PF₁|=[25/4]，进而分析出双曲线左支上任意一点到F₁的距离最小为-5-（-13）=8＞[25/4]，故点P不存在．

由题意得：a=5，b=12，c=13，F₁（-13，0），F₂（13，0），左准线为l：x=-[25/13]，

设点P（x，y），|PF₁|²=d•|PF₂|，又

|PF1|

d=e=[c/a]=[13/5]，∴|PF₁|=[5/13]•|PF₂|，

又|PF₂|-|PF₁|=10，∴|PF₁|=[25/4]，|PF₂|=[65/4]，

∵双曲线左支上任意一点到F₁（-13，0）的距离最小为-5-（-13）=8＞[25/4]，

故双曲线左支上不存在点P，使|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项．

点评：

本题考点： 双曲线的应用；等比数列的性质．

考点点评： 本题是个开放型的题目，考查双曲线的第一、第二定义，及双曲线的性质．