已知数列{an}、{bn}满足a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,且{an+1-an}(n∈Z)是等差数列,

2个回答

  • 解题思路:(1)根据{bn-2}(n∈Z)是等比数列,可求{bn-2}的通项公式,进而可求数列{bn}的通项公式;

    (2)根据{an+1-an} (n∈Z+)是等差数列,又a2-a1=-2,a3-a2=-1,利用叠加法可求数列{an}的通项公式;

    (3)先表示

    a

    n

    b

    n

    (n−1)(n−6)

    2

    +4[1−

    (

    1

    2

    )

    n−1

    ]

    ,进而可求其范围,从而得结论.

    (1)∵{bn-2} (n∈Z+)为等比数列,又b1-2=4,b2-2=2,b3-2=1,

    ∴公比q=

    1

    2,bn−2=4•(

    1

    2)n−1,bn=2+4•(

    1

    2)n−1(n∈Z+)(2分)

    (2)∵{an+1-an} (n∈Z+)是等差数列,又a2-a1=-2,a3-a2=-1,

    ∴公差d=1,an+1-an=-2+(n-1)=n-3(3分)

    于是an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1

    =[(n-1)-3]+[(n-2)-3]+…+(1-3)+6

    =

    (n−1)n

    2−3(n−1)+6=

    (n−1)(n−6)

    2+6(n∈Z+)(5分)

    (3)an−bn=

    (n−1)(n−6)

    2+4[1−(

    1

    2)n−1]

    ∵−(

    1

    2)n−1随正整数n的增加而增加

    ∴当n≥6时,an−bn≥a6−b6=4[1−(

    1

    2)5]=

    31

    8>

    1

    2(7分)

    又a1-b1=a2-b2=a3-b3=0a4−b4=

    3•(−2)

    2+4(1−

    1

    8)=

    1

    2a5−b5=

    4•(−1)

    2+4(1−

    1

    16)=

    7

    4>

    1

    2(9分)

    由此可见,不存在k∈Z+,使an−bn∈(0,

    1

    2)(10分)

    点评:

    本题考点: 等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列与不等式的综合.

    考点点评: 本题的考点是等差数列的通项公式,主要考查数列通项的求解,考查是否存在性问题,关键是转化为等差数列、等比数列研究问题.