解题思路:(1)根据{bn-2}(n∈Z)是等比数列,可求{bn-2}的通项公式,进而可求数列{bn}的通项公式;
(2)根据{an+1-an} (n∈Z+)是等差数列,又a2-a1=-2,a3-a2=-1,利用叠加法可求数列{an}的通项公式;
(3)先表示
a
n
−
b
n
=
(n−1)(n−6)
2
+4[1−
(
1
2
)
n−1
]
,进而可求其范围,从而得结论.
(1)∵{bn-2} (n∈Z+)为等比数列,又b1-2=4,b2-2=2,b3-2=1,
∴公比q=
1
2,bn−2=4•(
1
2)n−1,bn=2+4•(
1
2)n−1(n∈Z+)(2分)
(2)∵{an+1-an} (n∈Z+)是等差数列,又a2-a1=-2,a3-a2=-1,
∴公差d=1,an+1-an=-2+(n-1)=n-3(3分)
于是an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=[(n-1)-3]+[(n-2)-3]+…+(1-3)+6
=
(n−1)n
2−3(n−1)+6=
(n−1)(n−6)
2+6(n∈Z+)(5分)
(3)an−bn=
(n−1)(n−6)
2+4[1−(
1
2)n−1]
∵−(
1
2)n−1随正整数n的增加而增加
∴当n≥6时,an−bn≥a6−b6=4[1−(
1
2)5]=
31
8>
1
2(7分)
又a1-b1=a2-b2=a3-b3=0a4−b4=
3•(−2)
2+4(1−
1
8)=
1
2a5−b5=
4•(−1)
2+4(1−
1
16)=
7
4>
1
2(9分)
由此可见,不存在k∈Z+,使an−bn∈(0,
1
2)(10分)
点评:
本题考点: 等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列与不等式的综合.
考点点评: 本题的考点是等差数列的通项公式,主要考查数列通项的求解,考查是否存在性问题,关键是转化为等差数列、等比数列研究问题.