Question

已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且Sn=2n+a，（n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由数列的前n项和求出前3项，利用等比数列的性质列式求出a的值，则首项和公比可求，通项公式可求；

（Ⅱ）把等比数列的通项公式代入b_n=（2n-1）a_n，然后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

（Ⅰ）由S_n=2ⁿ+a，∴a₁=S₁=2+a，

a₂=S₂-S₁=（4+a）-（2+a）=2，a₃=S₃-S₂=（8+a）-（4+a）=4．

∵{a_n}为等比数列，∴a22＝a1a3，即4=4（2+a），解得a=-1．

∴a₁=1，q=

a2

a1＝2．

则an＝a1qn−1＝2n−1；

（Ⅱ）把an＝2n−1代入b_n=（2n-1）a_n，

得bn＝(2n−1)2n−1．

∴数列{b_n}的前n项和T_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-3）•2^n-2+（2n-1）•2^n-1①

2Tn＝1•21+3•22+…+(2n−3)•2n−1+(2n−1)•2n②

①-②得：−Tn＝1+2(2+22+…+2n−1)−(2n−1)•2n．

∴Tn＝(2n−3)•2n+3．

点评：

本题考点： 等比数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和．

考点点评： 本题考查了等比数列的和的公式和通项公式，训练了利用错位相减法求数列的和，考查了学生的计算能力，此题是中档题．