一个正整数,如果加上100是一个完全平方数,如果加上168,则是另一个完全平方数,则这个正整数是______.

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  • 解题思路:根据题意,可设所求的数为n,由题意,得:n+168=a2…(1),n+100=b2…(2),然后用(1)式减去(2)式,得到68=a2-b2=(a+b)(a-b),由于68=1×68=2×34=4×17,只有三种情况,即:①a+b=68,a-b=1;②a+b=34,a-b=2; ③a+b=17,a-b=4;对这三种情况进行讨论,得出答案.

    设所求的数为n,由题意,得:

    n+168=a2…(1)

    n+100=b2…(2)

    (1)-(2),得:

    68=a2-b2=(a+b)(a-b),

    由于68=1×68=2×34=4×17,只有三种情况,即:

    ①a+b=68,a-b=1;

    ②a+b=34,a-b=2;

    ③a+b=17,a-b=4;

    因为①a与b没有整数解,排除;

    ②算出a=18,b=16,所以:

    n=182-168=162-10=156;

    ③a与b没有整数解,排除.

    综上,只有n=156,即为所求的数.

    故答案为:156.

    点评:

    本题考点: 完全平方数性质.

    考点点评: 先设出要求的数,据题意列出等式,通过分情况探讨、推理,解决问题.