看样子你是个学生,我是大学线代讲师.
矩阵乘法是线性代数中最常见的运算之一,它在数值计算中有广泛的应用.若A和B是2个n×n的矩阵,则它们的乘积C=AB同样是一个n×n的矩阵.A和B的乘积矩阵C中的元素C[i,j]定义为:
若依此定义来计算A和B的乘积矩阵C,则每计算C的一个元素C[i,j],需要做n个乘法和n-1次加法.因此,求出矩阵C的n2个元素所需的计算时间为0(n3).
60年代末,Strassen采用了类似于在大整数乘法中用过的分治技术,将计算2个n阶矩阵乘积所需的计算时间改进到O(nlog7)=O(n2.18).
首先,我们还是需要假设n是2的幂.将矩阵A,B和C中每一矩阵都分块成为4个大小相等的子矩阵,每个子矩阵都是n/2×n/2的方阵.由此可将方程C=AB重写为:
(1)
由此可得:
C11=A11B11+A12B21 (2)
C12=A11B12+A12B22 (3)
C21=A21B11+A22B21 (4)
C22=A21B12+A22B22 (5)
如果n=2,则2个2阶方阵的乘积可以直接用(2)-(3)式计算出来,共需8次乘法和4次加法.当子矩阵的阶大于2时,为求2个子矩阵的积,可以继续将子矩阵分块,直到子矩阵的阶降为2.这样,就产生了一个分治降阶的递归算法.依此算法,计算2个n阶方阵的乘积转化为计算8个n/2阶方阵的乘积和4个n/2阶方阵的加法.2个n/2×n/2矩阵的加法显然可以在c*n2/4时间内完成,这里c是一个常数.因此,上述分治法的计算时间耗费T(n)应该满足：
这个递归方程的解仍然是T(n)=O(n3).因此,该方法并不比用原始定义直接计算更有效.究其原因,乃是由于式(2)-(5)并没有减少矩阵的乘法次数.而矩阵乘法耗费的时间要比矩阵加减法耗费的时间多得多.要想改进矩阵乘法的计算时间复杂性,必须减少子矩阵乘法运算的次数.按照上述分治法的思想可以看出,要想减少乘法运算次数,关键在于计算2个2阶方阵的乘积时,能否用少于8次的乘法运算.Strassen提出了一种新的算法来计算2个2阶方阵的乘积.他的算法只用了7次乘法运算,但增加了加、减法的运算次数.这7次乘法是:
M1=A11(B12-B22)
M2=(A11+A12)B22
M3=(A21+A22)B11
M4=A22(B21-B11)
M5=(A11+A22)(B11+B22)
M6=(A12-A22)(B21+B22)
M7=(A11-A21)(B11+B12)
做了这7次乘法后,再做若干次加、减法就可以得到:
C11=M5+M4-M2+M6
C12=M1+M2
C21=M3+M4
C22=M5+M1-M3-M7
以上计算的正确性很容易验证.例如:
C22=M5+M1-M3-M7
=(A11+A22)(B11+B22)+A11(B12-B22)-(A21+A22)B11-(A11-A21)(B11+B12)
=A11B11+A11B22+A22B11+A22B22+A11B12
-A11B22-A21B11-A22B11-A11B11-A11B12+A21B11+A21B12
=A21B12+A22B22
由(2)式便知其正确性.
至此,我们可以得到完整的Strassen算法如下：
procedure STRASSEN(n,A,B,C);begin if n=2 then MATRIX-MULTIPLY(A,B,C) else begin 将矩阵A和B依(1)式分块; STRASSEN(n/2,A11,B12-B22,M1); STRASSEN(n/2,A11+A12,B22,M2); STRASSEN(n/2,A21+A22,B11,M3); STRASSEN(n/2,A22,B21-B11,M4); STRASSEN(n/2,A11+A22,B11+B22,M5); STRASSEN(n/2,A12-A22,B21+B22,M6); STRASSEN(n/2,A11-A21,B11+B12,M7);
;
end;
end;
其中MATRIX-MULTIPLY(A,B,C)是按通常的矩阵乘法计算C=AB的子算法.
Strassen矩阵乘积分治算法中,用了7次对于n/2阶矩阵乘积的递归调用和18次n/2阶矩阵的加减运算.由此可知,该算法的所需的计算时间T(n)满足如下的递归方程:
按照解递归方程的套用公式法,其解为T(n)=O(nlog7)≈O(n2.81).由此可见,Strassen矩阵乘法的计算时间复杂性比普通矩阵乘法有阶的改进.
有人曾列举了计算2个2阶矩阵乘法的36种不同方法.但所有的方法都要做7次乘法.除非能找到一种计算2阶方阵乘积的算法,使乘法的计算次数少于7次,按上述思路才有可能进一步改进矩阵乘积的计算时间的上界.但是Hopcroft和Kerr(197l)已经证明,计算2个2×2矩阵的乘积,7次乘法是必要的.因此,要想进一步改进矩阵乘法的时间复杂性,就不能再寄希望于计算2×2矩阵的乘法次数的减少.或许应当研究3×3或5×5矩阵的更好算法.在Strassen之后又有许多算法改进了矩阵乘法的计算时间复杂性.目前最好的计算时间上界是O(n2.367).而目前所知道的矩阵乘法的最好下界仍是它的平凡下界Ω(n2).因此到目前为止还无法确切知道矩阵乘法的时间复杂性.关于这一研究课题还有许多工作可做.