如图,已知AB=AC,∠BAC=120°,在BC上取一点O,以O为圆心OB为半径作圆,且⊙O过A点,过A作AD∥BC交⊙

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  • 解题思路:(1)根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠ABC和∠C的度数,求出∠BAO,求出∠OAC=90°,根据切线的判定求出即可;

    (2)连接AE,求出∠AEB的度数,根据平行线求出∠DAO,根据圆内接四边形性质求出∠D,根据四边形的内角和定理求出∠DAO,根据平行四边形的判定得出平行四边形BOAD,根据菱形的性质求出即可.

    (1)证明:∵AB=AC,∠BAC=120°,

    ∴∠ABC=∠C=[1/2](180°-∠BAC)=30°,

    ∵OA=OB,

    ∴∠ABO=∠BAO=30°,

    ∴∠OAC=120°-30°=90°,

    即OA⊥AC,

    ∵OA为⊙O的半径,

    ∴AC是⊙O的切线.

    (2)证明:

    连接AE,

    ∵∠AOB=∠C+∠OAC=30°+90°=120°,

    ∴由圆周角定理得:∠AEB=[1/2]∠AOB=60°,

    ∵D、B、E、A四点共圆,

    ∴∠D+∠AEB=180°,

    ∴∠ADB=120°,

    ∵AD∥BC,

    ∴∠DAO+∠BOA=180°,

    ∴∠DAO=60°,

    ∴∠DBO=360°-60°-120°-120°=60°,

    即∠D=∠BOA,∠DBO=∠DAO,

    ∴四边形BOAD是平行四边形,

    ∵OA=OB,

    ∴平行四边形BOAD是菱形.

    点评:

    本题考点: 切线的判定;三角形内角和定理;等腰三角形的性质;平行四边形的判定;菱形的判定;圆周角定理;圆内接四边形的性质.

    考点点评: 本题考查的知识点有等腰三角形性质、三角形的内角和定理、切线的判定、平行四边形的判定、平行线性质、菱形的判定、圆周角定理、圆内接四边形,本题主要考查了学生的推理能力,是一道比较好的题目.